Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
a) Biết \(P\left( A \right) = 0,7\) và \(P\left( B \right) = 0,2\). Hãy tính xác suất của các biến cố \(AB,\bar AB\) và \(\bar A\bar B\).
b) Biết \(P\left( A \right) = 0,5\) và \(P\left( {AB} \right) = 0,3\). Hãy tính xác suất của các biến cố \(B,\bar AB\) và \(\bar A\bar B\).
a) \(P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,7 = 0,3;P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,2 = 0,8\)
\(\begin{array}{l}P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,7.0,2 = 0,14\\P\left( {\bar AB} \right) = P\left( {\bar A} \right)P\left( B \right) = 0,3.0,2 = 0,06\\P\left( {\bar A\bar B} \right) = P\left( {\bar A} \right)P\left( {\bar B} \right) = 0,3.0,8 = 0,24\end{array}\)
b) \(P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,5 = 0,5\)
\(\begin{array}{l}P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,5}} = 0,6 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4\\P\left( {\bar AB} \right) = P\left( {\bar A} \right)P\left( B \right) = 0,5.0,6 = 0,3\\P\left( {\bar A\bar B} \right) = P\left( {\bar A} \right)P\left( {\bar B} \right) = 0,5.0,4 = 0,2\end{array}\)
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau.
a) Biết \(P\left( A \right) = 0,3\) và \(P\left( {AB} \right) = 0,2\). Tính xác suất của biến cố \(A \cup B\).
b) Biết \(P\left( B \right) = 0,5\) và \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,7\). Tính xác suất của biến cố \(A\).
a) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập \( \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{23}}{{30}}\)
b) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập \( \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,5.P\left( A \right)\)
\(\begin{array}{l}P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) \Leftrightarrow 0,7 = P\left( A \right) + 0,5 - 0,5.P\left( A \right)\\ \Leftrightarrow 0,5P\left( A \right) = 0,2 \Leftrightarrow P\left( A \right) = 0,4\end{array}\)
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập. Biết \(P\left( A \right) = 0,4\) và \(P\left( B \right) = 0,5\). Xác suất của biến cố \(A \cup B\) là
A. 0,9.
B. 0,7.
C. 0,5.
D. 0,2.
tham khảo
\(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=0,7\)
\(\Rightarrow D\)
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau. Biết \(P\left( A \right) = 0,9\) và \(P\left( B \right) = 0,6\). Hãy tính xác suất của biến cố \(A \cup B\).
Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên `P(A∩B) = P(A) * P(B)`
Ta có:
`P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)`
`= 0,9 + 0,6 - 0,9 * 0,6`
`= 0,9 + 0,6 - 0,54`
`= 0,96`
Vậy xác suất của biến cố `A∪B` là 0,96.
$HaNa$
Cho hai biến cố xung khắc \(A\) và \(B\). Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) và 12 kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\). Hãy so sánh \(P\left( {A \cup B} \right)\) với \(P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A \cup B\) là \(5 + 12 = 17\).
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{n\left( \Omega \right)}};P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega\right)}} = \frac{{12}}{{n\left( \Omega\right)}};P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{n\left( {A \cup B} \right)}}{{n\left( \Omega\right)}} = \frac{{17}}{{n\left( \Omega\right)}}\)
\( \Rightarrow P\left( A \right) + P\left( B \right) = P\left( {A \cup B} \right)\)
A, B là hai biến cố độc lập. P(A) =0,5.\(P\left(A\cap B\right)=0,2\). Tính \(P\left(A\cup B\right)\)
\(P\left(B\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=0,4\)
\(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=0,7\)
Cho A và B là hai biến cố độc lập với \(P\left(A\right)=0,6;P\left(B\right)=0,3\). Tính
a) \(P\left(A\cup B\right)\)
b) \(P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)\)
a) \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)\)
\(=0,6+0,3-0,18=0,72\)
b) \(P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=1-P\left(AB\right)=1-0,18=0,82\)
Giả sử A và B là hai biến cố và \(\dfrac{P\left(A\cup B\right)}{P\left(A\right)+P\left(B\right)}=a\)
Chứng minh rằng :
a) \(\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)+P\left(B\right)}=1-a\)
b) \(\dfrac{1}{2}\le a\le1\)
a) Vì \(P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)\) nên
\(\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)+P\left(B\right)}=\dfrac{P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)}{P\left(A\right)+P\left(B\right)}=1-a\)
Tiếp tục với phép thử ở Ví dụ 1.
a) Gọi \(D\) là biến cố “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất là 3”. Hãy xác định các biến cố \(AD,BD\) và \(C{\rm{D}}\).
b) Gọi \(\bar A\) là biến cố đối của biến cố \(A\). Hãy viết tập hợp mô tả các biến cố giao \(\bar AB\) và \(\bar AC\).
a) \(D = \left\{ {\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {3;6} \right)} \right\}\)
\(A{\rm{D}} = \left\{ {\left( {3;2} \right)} \right\};B{\rm{D}} = \left\{ {\left( {3;2} \right)} \right\};C{\rm{D}} = \left\{ {\left( {3;1} \right)} \right\}\)
b) \(\bar AB = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}\)
\(\bar A{\rm{C}} = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {1;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {1;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right);\left( {1;1} \right)} \right\}\)
